열확산 방정식
Incropera 『열전달』 8판 2장(전도 개론)과 절별정리 PDF를 바탕으로 만든 초안이다. 필기로 교체·검수 예정.
학습목표
- Fourier 법칙의 3차원 벡터형을 쓰고 열유속 방향을 등온면과 연결해 설명할 수 있다
- $k$, $\rho c_p$, $\alpha$ 가 각각 무엇을 나타내는지 구분하고 재료를 비교할 수 있다
- 미소 검사체적에서 열확산 방정식을 유도하고, 주어진 문제에 맞게 단순화할 수 있다
- 표면 조건을 세 종류의 경계조건 중 하나로 옮겨 쓸 수 있다
2.1 전도전달률 방정식
Fourier 법칙은 유도된 식이 아니라 실험에서 일반화한 현상론적 법칙이다. 막대 실험에서 $q_x$ 가 $A$ 와 $\Delta T$ 에 비례하고 $\Delta x$ 에 반비례한다는 걸 관찰했고, 그 비례상수가 열전도율 $k$ 다.
$$q''_x = -k\frac{\partial T}{\partial x}$$
3차원으로 넓히면 열유속은 벡터가 된다.
$$\mathbf{q}'' = -k\nabla T = -k\left(\mathbf{i}\frac{\partial T}{\partial x} + \mathbf{j}\frac{\partial T}{\partial y} + \mathbf{k}\frac{\partial T}{\partial z}\right)$$
$\nabla T$ 는 온도가 가장 빨리 오르는 방향이고 등온면에 수직이다. 따라서 열유속은 등온면에 수직으로, 온도가 내려가는 쪽을 향한다. 이 성질은 2차원 정상 열전도에서 "등온선과 열류선이 직교한다"로 다시 쓰인다.
여기서는 등방성(방향에 관계없이 $k$ 가 같음)을 가정한다. 복합재·목재처럼 결 방향이 있는 재료는 방향마다 $k$ 가 다르다.
2.2 물질의 열물성치
열전도율
$k = k_e + k_{ph}$ — 전자 기여와 포논(격자진동) 기여의 합이다.
| 물질 | $k$ [W/m·K] | 주된 운반자 |
|---|---|---|
| 기체 | 0.01–0.1 | 분자 충돌 |
| 액체 | 0.1–1 | 분자 |
| 비금속 고체 | 1–50 | 포논 |
| 순수 금속 | 50–400 | 자유전자 |
- 합금은 순수금속보다 $k$ 가 낮다. 불순물 원자가 전자의 이동을 흩뜨리기 때문이다
- 기체의 $k$ 는 온도가 오르면 커지고 압력에는 거의 무관하다
- 단열재는 낮은 $k$ 의 고체 사이에 기체를 가둬서 만든다. 이때는 내부 대류·복사까지 포함한 유효 열전도율 $k_{eff}$ 로 다룬다
- 막 두께가 운반자의 평균자유행로와 비슷해지면 $k$ 가 줄어든다(나노 스케일). 1차원 정상 열전도 3.7절(나노 전도, 다음 회차) 참고
그 외 물성치
| 물성치 | 뜻 |
|---|---|
| $\rho c_p$ [J/m³·K] | 체적 열용량 — 에너지를 저장하는 능력 |
| $\alpha = k/\rho c_p$ [m²/s] | 열확산율 — 열을 전하는 능력 / 저장하는 능력 |
| $\sqrt{k\rho c_p}$ | 열침투율(effusivity) — 접촉 온도를 정함 |
| 재료 | $k$ | $\rho c_p$ [MJ/m³K] | $\alpha$ [mm²/s] |
|---|---|---|---|
| 알루미늄 | 237 | 2.44 | 97 |
| 스테인리스 304 | 14.9 | 3.77 | 4.0 |
| 물 (300 K) | 0.61 | 4.17 | 0.15 |
스테인리스는 알루미늄보다 $k$ 가 16배 작지만 $\alpha$ 는 24배 작다. 열을 덜 전하는 데다 더 많이 머금기 때문이다. 그래서 스테인리스 냄비는 바닥 한 곳만 뜨거워지고(국부 과열), 알루미늄 냄비는 금방 고르게 데워진다.
"$k$ 가 크면 온도가 빨리 변한다"
정상상태에서 얼마나 많이 흐르는지는 $k$ 가 정하지만, 과도상태에서 얼마나 빨리 반응하는지는 $\alpha$ 가 정한다. 물은 $k$ 가 공기의 23배지만 $\rho c_p$ 가 3,500배쯤 커서 $\alpha$ 는 오히려 공기보다 작다. 그래서 바다는 낮밤 온도가 거의 안 변한다.
2.3 열확산방정식
미소 검사체적에 열전달 기초의 에너지 보존을 적용한다.
$$\dot E_{in} - \dot E_{out} + \dot E_g = \dot E_{st}$$
$x$ 방향 순 유입은 테일러 전개로 $q_x - q_{x+dx} = -\dfrac{\partial q_x}{\partial x}dx$ 이고, 여기에 Fourier 법칙을 넣으면 세 방향 합이 전도항이 된다. 발생은 $\dot q\,dV$, 저장은 $\rho c_p \dfrac{\partial T}{\partial t}dV$ 다.
$$\frac{\partial}{\partial x}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot q = \rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}$$
읽는 법: (순 유입 전도) + (발생) = (저장 변화율). $k$ 가 일정하면
$$\nabla^2 T + \frac{\dot q}{k} = \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}$$
경우별 단순화
| 조건 | 식 | 의미 |
|---|---|---|
| 정상, 무발열, $k$ 일정 | $\nabla^2 T = 0$ | Laplace 방정식 |
| 정상, 1차원 | $\dfrac{d}{dx}\!\left(k\dfrac{dT}{dx}\right) + \dot q = 0$ | 3장 |
| 정상, 1차원, 무발열 | $\dfrac{d}{dx}\!\left(k\dfrac{dT}{dx}\right) = 0$ | $q''_x$ 가 $x$ 에 무관 |
마지막 줄은 식을 한 번 적분하면 바로 나온다. $k\,dT/dx$ = 상수 = $-q''_x$. 들어온 열이 저장도 발생도 없이 그대로 나간다는 뜻이다.
원통·구 좌표
$$\text{원통: }\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(kr\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial \phi}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial \phi}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\!\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot q=\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}$$
$$\text{구: }\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(kr^2\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\cdots+\dot q=\rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}$$
원통에서 $r$ 이 미분 안쪽에 들어가는 이유
반지름 방향으로 나갈수록 열이 지나는 면적 $2\pi r L$ 이 커진다. 정상·무발열이면 일정한 것은 총 열전달률 $q_r = -k(2\pi rL)\,dT/dr$ 이지, 열유속 $q''_r$ 이 아니다. 그래서 보존되는 양 $r\,dT/dr$ 을 통째로 미분한다. 구는 면적이 $4\pi r^2$ 이라 $r^2$ 이 들어간다.
2.4 경계조건과 초기조건
공간 2차 미분이므로 좌표마다 경계조건 2개, 시간 1차 미분이므로 초기조건 1개가 필요하다.
| 종류 | $x=0$ 에서의 조건 | 물리 |
|---|---|---|
| 1종 (Dirichlet) | $T(0,t) = T_s$ | 표면이 상변화 유체·대용량 열원과 접촉 |
| 2종 (Neumann) | $-k\,\partial T/\partial x\vert_0 = q''_s$ | 전기 히터 부착 |
| 2종 특수 — 단열 | $\partial T/\partial x\vert_0 = 0$ | 단열재, 대칭면 |
| 3종 (Robin) | $-k\,\partial T/\partial x\vert_0 = h[T_\infty - T(0,t)]$ | 표면 대류 |
3종 조건은 새로 외울 것이 아니라 표면 에너지 평형 — 전도로 표면에 도착한 열 = 대류로 떠나는 열 — 을 식으로 쓴 것이다. 부호가 헷갈리면 표면에 검사면을 그리고 화살표 방향을 맞추면 된다.
"대칭면에는 경계조건이 없다"
대칭면은 단열 조건 $\partial T/\partial x = 0$ 과 같다. 양쪽이 똑같이 식는 판의 중앙면에서는 열이 어느 쪽으로도 건너가지 않기 때문이다. 이걸 이용하면 판 전체 대신 반쪽만 풀면 된다 — 1차원 정상 열전도, 과도 열전도 이 모두 이 방식이다.
2.5 요약
- Fourier 법칙 $\mathbf{q}'' = -k\nabla T$ — 열유속은 등온면에 수직, 온도 하강 방향
- 물성: $k$ (전도), $\rho c_p$ (저장), $\alpha = k/\rho c_p$ (반응 속도)
- 열확산 방정식 + 경계·초기조건 → $T(x,y,z,t)$ → Fourier 법칙으로 $q$
- 풀이 흐름: 좌표계 선택 → 정상? 1D? 발열? 로 식 단순화 → 적분 → BC 대입
- 이후 1차원 정상 열전도 → 2차원 정상 열전도 → 과도 열전도 순으로 이 방정식을 푼다